%d0%b3%d0%b5%d0%be%d1%81%d1%82%d0%b0%d1%86%d0%b8%d0%be%d0%bd%d0%b0%d1%80%d0%bd%d0%b0%d1%8f-%d0%be%d1%80%d0%b1%d0%b8%d1%82%d0%b0

Синхронная орбита

Приливные силы, Солнечная система

Во время приливного взаимодействия энергия передаётся либо от планеты к спутнику, либо от спутника к планете. От чего это зависит?

Пусть M, R, V – масса, радиус и экваториальная скорость вращения планеты, а m – масса её спутника, v – скорость его движения по орбите, r – радиус этой орбиты. Предположим, что орбита спутника круговая и лежит в экваториальной плоскости планеты. Мы хотим выяснить, сможет ли кинетическая энергия планеты передаваться спутнику, даже в том случае, если его масса очень мала.

Момент импульса планеты J равен:

J  = IMR2ω                                                                                (1)

Здесь ω – угловая скорость вращения планеты, равная ω = 2π/T, где T – период вращения планеты. I – безразмерный момент инерции планеты. Его величина зависит от распределения массы. Для однородного шара безразмерный момент инерции точно равен 0,4. Если внутренность шара более плотная, чем поверхность, то безразмерный момент инерции будет меньше. Например, у Земли он равен 0,33, у Юпитера ещё меньше 0,254, у Луны же 0,394, а это означает, что у неё либо совсем нет железного ядра, либо оно очень маленькое. Момент инерции планеты (или другого шарообразного тела) равен IMR2. Линейная скорость поверхности на экваторе планеты равна V = ω R. В результате получаем:

J  = IMRV                                                                                (2)

Орбитальный момент спутника равен:   mvr

Если в системе действуют приливные силы, то часть энергии переходит в тепло. При этом полный момент импульса остаётся неизменным. Иначе говоря, в системе происходит перераспределение момента импульса между её частями. Причём такое перераспределение, которое сопровождается потерей (диссипацией) свободной энергии, и, соответственно, ростом энтропии. Очевидно, подобный процесс может идти только в одном направлении. Под свободной энергией подразумевается кинетическая и потенциальная энергия системы, а диссипация – это рассеяние энергии, её необратимый переход из свободной формы в тепловую.

Следовательно, нам надо найти такое перераспределение момента импульса, при котором уменьшается свободная энергия. Запишем закон сохранения момента импульса для планеты (1) и спутника (2), см. фото.

J1  +  J2 = const                                                                    (3)

Продифференцируем это выражение:

%d1%84%d0%be%d1%80%d0%bc%d1%83%d0%bb%d0%b0-4-1

_

_

_

_

Из полученного уравнения видно, что при достаточно большом М, величина dv может быть много больше, чем dV (по модулю):

|dv| >> |dV|

Не приведёт ли такое сильное неравенство к нарушению закона сохранения энергии при передаче вращения от планеты к спутнику? Ведь кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости.

Кинетическая энергия планеты K1 равна:
%d1%84%d0%be%d1%80%d0%bc%d1%83%d0%bb%d0%b0-5

_

_

_

Кинетическая орбитальная энергия спутника K2 равна:

K2 = 1/2 mv2                                                           (6)

Запишем выражение для энергии в дифференциальной форме:

dK1 + dK2 < 0                                                       (7)

Это строгое неравенство означает, что вследствие приливных сил кинетическая энергия системы уменьшается. А что будет с потенциальной энергией?

Процесс перераспределения энергии под действием приливных сил можно разделить на две части. Первая – перераспределение момента импульса системы и вызванное этим перераспределение кинетической энергией в результате приливного трения. Вторая – перераспределение потенциальной энергии вследствие перераспределения кинетической: спутник получает дополнительную кинетическую энергию и переходит на более высокую орбиту. Сейчас нас интересует только первая часть процесса. Именно из-за нее процесс передачи энергии необратим.

Подставляя К1 и К2 в (7), получаем:

IMVdV + mvdv < 0                                                    (8)

Подставляем dv из уравнения (4), получаем:

%d1%84%d0%be%d1%80%d0%bc%d1%83%d0%bb%d0%b0-9

_

_

_

_

_

Учитывая, что угловая скорость орбитального вращения спутника ω2 вокруг планеты равна:

ω2 = v/r, получаем:

1 — ω 2dV < 0                                                       (10)

Итак, мы получили важный результат, который, правда, был и так интуитивно очевиден. Направление передачи энергии зависит только от угловой скорости вращения планеты ω1 и угловой скорости движения спутника по орбите ω2.

Если ω1 > ω2, то dV < 0. В этом случае скорость вращения планеты уменьшается, и кинетическая энергия передается от планеты к спутнику. Говоря другими словами, если сутки на планете T1 = 2π/ω1 короче, чем месяц T2 = 2π/ω2, то скорость вращения планеты будет уменьшаться. А энергия спутника, соответственно, возрастать. И он будет постепенно переходить на более высокую орбиту. Подобный процесс происходит в системе Земля-Луна, в которой сутки почти в 30 раз короче месяца, а наш естественный спутник удаляется на 3,8 сантиметра в год.

Если ω1 < ω2, то dV > 0, то есть скорость вращения планеты увеличивается, и кинетическая энергия передается от спутника к планете. В этом случае приливная волна, создаваемая спутником на планете, опережает её вращение и в результате ускоряет планету. А энергия спутника, наоборот, уменьшается, и он постепенно «падает» на планету. Этот сценарий реализуется для марсианского спутника Фобос.

Из уравнения (10) видно, что для каждой планеты существует особая орбита, которая называется синхронной. На ней орбитальный период спутника в точности равен периоду вращения планеты вокруг своей оси. Для Земли подобная орбита называется также геостационарной. Находящиеся на ней спутники движутся так, что всё время «висят» над одним и тем же местом.

Синхронная орбита – неустойчива. Если мы чуть-чуть увеличим её, то начнётся необратимый процесс удаления спутника от планеты. Ведь чем выше его орбита, тем больше период движения по ней и, следовательно, приливная волна, создаваемая им на планете, будет быстрее двигаться по ней в обратную сторону, замедляя её вращение. Если же чуть-чуть уменьшить орбиту спутника, находящегося на синхронной орбите, то, наоборот, начнётся необратимый процесс его падения.

Стоит отметить, что у Марса, Юпитера, Урана и Нептуна есть спутники, находящиеся ниже синхронной орбиты. Такие спутники обречены. Время их «жизни» оценивается в десятки миллионов лет, что значительно меньше возраста Солнечной системы. В таком случае они должны были образоваться по астрономическим меркам недавно. И значит, могут появиться и в настоящее время. Как же они рождаются? На этот вопрос мы ответим позже.

Василий Янчилин

2 комментариев

  • После завершения активной эксплуатации на остатках топлива спутник должен быть переведён на орбиту захоронения , расположенную на 200—300 км выше ГСО.

Добавить комментарий