Кеплер

Уравнение Кеплера

GPS

Ведущая станция рассчитывает и уточняет параметры орбиты спутника и загружает эти данные на спутник. Спутник передаёт эту информацию в навигационных сообщениях. GPS-приёмник принимает информацию и, используя полученные орбитальные параметры, рассчитывает местоположение спутника. Эту задачу можно сформулировать так.

Известно местоположение спутника на орбите в определённый момент времени. Где этот спутник окажется через полчаса?

Это классическая задача небесной механики: найти движение тела по орбите в зависимости от времени. Она была решена Кеплером. Сейчас я постараюсь как можно проще изложить её решение.

Пусть тело в нулевой момент времени находится в перицентре своей орбиты (см. рис. 1). Где это тело будет через время t?

Fig. 11.1

Рис. 1. Эллиптическая орбита. Большая полуось а, малая полуось b, эксцентриситет е, F – фокус эллипса (центр Земли), Р – перицентр, О – центр эллипса, ось ОХ направлена на перицентр. Точка S – положение тела (спутника) на орбите в момент времени t, точка Х – её проекция на ось ОХ. Угол ʋ – истинная аномалия, r – радиус-вектор спутника.

Тело движется по эллипсу неравномерно: изменяется величина радиус-вектора и величина скорости. Единственная величина, которая увеличивается равномерно, – это площадь, заметаемая радиус-вектором r. Потому что согласно Второму закону Кеплера, заметаемая площадь пропорциональна времени. Это прямое следствие закона сохранения момента импульса.

Основная идея решения такая. Нужно найти площадь SFSP криволинейного треугольника FSP. Эта площадь будет относится к площади всего эллипса πab как время t к орбитальному периоду T:

                 Formula 11.1                                                                (1)

Если мы найдём площадь SFSP, то сможем выразить радиус-вектор спутника r и истинную аномалию (угол ʋ) через время t.

Чтобы найти площадь SFSP, начертим окружность с центром в точке О и радиусом а (см. рис. 2).

Fig. 11.2

Рис. 2. Геометрическая связь между истинной аномалией (угол ʋ) и эксцентрической аномалией (угол Е).

Точка Е – это продолжение перпендикуляра XS. Угол Е называется «эксцентрическая аномалия». Этот вспомогательный угол помогает решить задачу.

Площадь криволинейного треугольника OEP находится легко: это просто площадь сектора круга, равная 1/2 а2Е. Площадь прямоугольного треугольника ОЕХ равна 1/2 а cosЕ а sinE. Вычитая из первой площади вторую, находим площадь криволинейного треугольника XEP. А если этот треугольник «поджать» в вертикальном направлении в a/b раз: поделить его площадь на a/b (эллипс – это круг, поджатый в a/b раз), то получим площадь треугольника XSP:

                   Formula 11.2                 (2)

Теперь нужно найти площадь прямоугольного треугольника FSX. Это совсем просто. Его высота равна (вспоминаем, что эллипс – это поджатый круг) |SX| = b/a |EX| = b/a a sinE = b sinE. Основание треугольника равно: |FX| = |OX| – |OF| = a cosE – ae. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

           Formula 11.3                      (3)

Складывая (2) и (3), получаем:

                       Formula 11.4                                                  (4)

Учитывая (1) и сокращая на ab, получаем:

                              Formula 11.5                                                         (5)

Это уравнение Кеплера. Оно позволяет рассчитать эксцентрическую аномалию E в зависимости от времени t. А зная Е, нетрудно найти истинную аномалию ʋ и расстояние до спутника r, используя рис. 2.

Величина 2π/Т – это средняя угловая скорость движения спутника по орбите, обозначается как n. Величина 2πt/Т называется «средняя аномалия» и обозначается как М. Средняя аномалия – это угол, на который удалился бы спутник от перицентра, если бы двигался с постоянной угловой скоростью n:

M = n·(t – tР)                                                             (6)

Здесь tР – это время прохождения перицентра. Уравнение (5) можно представить в виде:

M = E – sin E                                                           (7)

Центр управления определяет параметры орбиты спутника на определённое время t0, в том числе, значение средней аномалии M0. И загружает эти данные, включая опорное время t0, на спутник. GPS-приёмник принимает эту информацию спустя какое-то время. Он рассчитывает среднюю аномалию спутника М на новое время и, используя уравнение Кеплера (7), находит эксцентрическую аномалию Е. Найдя Е, GPS-приёмник рассчитывает истинную аномалию и радиус вектор спутника.

Несколько слов о решении уравнения (7). Это простое, но нелинейное уравнение, поэтому его трудно решить аналитически. Но оно легко решается численно методом последовательных приближений.

Е = М + sin E                                                          (8)

В правую часть уравнения (8) вместо Е подставляется М и находится Е1 = М + sin М. Затем в правую часть уравнения (8) вместо Е подставляется Е1 и находится Е2 и так далее:

Еk+1 = М + sin Ek                                                   (9)

Эксцентриситет е у спутников мал (порядка 0,01), поэтому ряд (9) сходится быстро.

Василий Янчилин

Добавить комментарий