Ferma 2

Волновое уравнение

Принцип Ферма

Посмотрим на волновое уравнение (выше). Его можно написать в двух видах: через длину волны (вверху) и через период (внизу). В некотором смысле верхнее уравнение более информативно. Если длина волны постоянна, то её можно вынести за знак интеграла:

dx = min

В этом случае волна должна двигаться по кратчайшему пути, то есть, по прямой. И наоборот, если траектория волны искривлена, то ее длина волны изменяется вдоль траектории. Зная из опыта различные траектории движения волны, можно определить, как ее длина волны зависит от пространственных координат.

Забегая вперед, скажу. Зная как световой луч отклоняется вблизи Солнца, можно рассчитать (без привлечения других предположений), как зависит длина световой волны от расстояния до Солнца. А отсюда уже можно получить массу интересных следствий.

Если считать, что длина волны – это «шаг», то верхнее уравнение можно интерпретировать так. Волна всегда движется так, чтобы затратить минимум собственных шагов на пройденный путь. Или, говоря научным языком, чтобы оптическая длина пути была минимальна.

Перейдем к нижнему уравнению. Согласно ему, волна движется так, чтобы совершить минимум собственных колебаний за пройденный путь. Или, говоря научным языком, так, чтобы разность фаз в конце и начале пути была минимальна.

Если период волны постоянен (частота постоянна) вдоль траектории движения, то его можно вынести за знак интеграла:

dt = min

В этом случае волна будет двигаться так, чтобы затратить минимум времени на путь. Траектория волны при этом может быть искривлена. И наоборот, траектория может быть прямой, а частота – переменной. Здесь нет такой жесткой связи между непостоянством знаменателя и искривлением пути, как в верхнем уравнении.

Когда свет движется в среде, его частота остается постоянной, потому что это колебания электромагнитного поля в среде. Поэтому свет в среде движется так, чтобы затратить минимум времени на пройденный путь. Это первоначальная формулировка принципа Ферма. Но мы теперь знаем, что свет не ориентируется на наше время (часы наблюдателя), он движется так, чтобы совершить минимум собственных колебаний за пройденный путь. Просто в данном конкретном случаем минимум собственного времени совпадает с минимумом лабораторного времени.

Повторю еще раз. В волновом уравнении dt – это бесконечно малый промежуток времени, измеренный по часам наблюдателя. Т – это период волны, также измеренный по часам наблюдателя. После деления dt на Т, время наблюдателя «сокращается». И мы видим, что свет при движении не ориентируется на время наблюдателя. Он ничего не знает о нём. Поэтому принцип Ферма в первоначальной формулировке выглядел немного «таинственно», так как связывал движение света с часами наблюдателя.

Василий Янчилин

Добавить комментарий