%d0%ba%d0%bf%d0%b4-%d0%bc%d0%b8%d0%bd%d0%b8%d0%b0%d1%82%d1%8e%d1%80%d0%b0

КПД приливных сил

Неизвестные задачи небесной механики, Приливные силы, Солнечная система, Это интересно

Сейчас мы рассчитаем коэффициент полезного действия (КПД) приливных сил. Выясним, какая часть потраченной энергии вращения передаётся другому телу (например, от Земли к Луне), а какая часть теряется в виде тепла. Эту задачу, насколько мне известно, никто никогда не решал.

Поэтому она помещена в рубрику «Неизвестные задачи небесной механики». Задача нетрудная и ответ у неё очень красивый, в смысле очень простой. Почему её никто не решал, непонятно. Думаю, специалисты по небесной механике не любят приливные силы, так как привыкли работать с математически точными выражениями. А приливные силы невозможно точно рассчитать. Но мы получим ТОЧНЫЙ ответ.

В предыдущей публикации мы выяснили, что в системе планета-спутник в роли «спонсора» энергии выступает всегда тело, у которого выше угловая скорость вращения. Рассчитаем, какая часть энергии спонсора передается другому телу, а какая – переходит в тепло (тратится на приливный нагрев).

Воспользуемся формулой (4) из предыдущей публикации (Синхронная орбита):

%d1%84%d0%be%d1%80%d0%bc%d1%83%d0%bb%d0%b0-4                                       (1)

Напомню, что dv – изменение орбитальной скорости спутника, I – безразмерный момент инерции планеты, M – масса планеты, V – линейная скорость вращения планеты на экваторе, dV – изменение этой скорости, m – масса спутника, r – радиус орбиты спутника. Формула (4) прямо следует из закона сохранения момента импульса: изменение орбитального момента спутника в точности равно изменению с обратным знаком собственного момента импульса планеты.

Кинетическая энергия K2 спутника равна:

%d0%ba%d1%8d

Поэтому (K1 — кинетическая энергия вращения Земли, ω1 – частота её вращения в радианах, ω2 – угловая скорость движения спутника по орбите):

dK2 = mvdv, с учётом формулы (1), получаем:

Формула-1.1                                     (2)

Так как dK1 = IMVdV  и IMdV = dK1/V, то:

Формула-1.2            (3)

Так как v/r = ω1 и V/R = ω2, получаем:

Формула-1.3                                         (4)

Мы снова видим, что энергия может передаваться только от быстро вращающегося тела к медленно вращающемуся (имеется в виду угловая скорость вращения).

Например, если ω1 > ω2 (планета вращается быстрее, чем спутник), то |dK2| < |dK1|. Это означает, что энергия может переходить только от планеты к спутнику. Ведь при передаче энергии некоторая ее часть необратимо переходит в тепло. При dK2 < 0 выполняется необходимое условие:

dK1 + dK2 < 0                                                (5)

Передача энергии от медленно вращающегося спутника к быстро вращающейся планете невозможна. Ведь в этом случае неравенство (5) нарушается. И, следовательно, для осуществления подобного процесса нужна дополнительная энергия.

Если спутник вращается быстрее планеты (как, например, Фобос относительно Марса), то в этом случае ω1 > ω2, и с учётом (4) и (5) получаем: dK1 > 0. Соответственно, кинетическая энергия планеты растёт, а орбитальная энергия спутника уменьшается. Спутник медленно «падает» на планету.

Итак, если в системе выделяется энергия в виде тепла, состояние системы будет изменяться. Система будет стремиться к стабильному состоянию, при котором энергия не выделяется. Подобное стабильное стационарное состояние достигнуто, например, в системе Плутон-Харон. Спутник Харон не только повёрнут к Плутону всегда одной и той же стороной (как Луна к Земле), но и вращается вокруг Плутона с угловой скорость, равной скорости вращения Плутона. То есть Плутон так же повёрнут к Харону одной и той же стороной.

Ясно, что подобное состояние системы не случайно. Видимо, раньше Харон находился на другой орбите, но за счёт действия приливных сил постепенно перешёл на современную. Интересно узнать, какая была орбита у Харона, когда он образовался: ниже или выше, чем современная?

Из уравнения (4) видно, что коэффициент полезного действия приливных сил зависит только от соотношения частот вращения спутника и планеты и, как правило, он достаточно мал. Например, в системе Земля-Луна ω12 = месяц/сутки ≈ 27, поэтому только менее четырех процентов энергии вращения Земли идёт на увеличение орбитальной энергии Луны, а остальное выделяется в виде тепла dQ внутри Земли и на её поверхности. Давайте проделаем расчеты. Согласно закону сохранения энергии:

dK1 + dK2 + dQ = 0                                                        (6)

Введем следующее определение коэффициента полезного действия (КПД) приливных сил. Эта величина равная отношению полученной энергии к переданной энергии. Если |dK2| < |dK1| (энергия передается от планеты к спутнику), то:

%d0%ba%d0%bf%d0%b4

если |dK2| > |dK1| (энергия передается от спутника к планете), то:

%d0%ba%d0%bf%d0%b4-2

Итак, во всех случаях КПД процесса передачи энергии равен отношению частот. КПД стремится к ста процентам, если ω1 = ω2, но в таком случае никакой передачи энергии не происходит. Если же частоты сильно отличаются друг от друга, то основная часть передаваемой энергии расходуется на приливный нагрев, и только небольшая часть передается другому телу. То есть процесс передачи энергии вращения всегда сопровождается диссипацией энергии, и, следовательно, ростом энтропии. Это – необратимый процесс.

КПД приливных сил можно выразить и через отношение периодов. Если период вращения планеты Т1 (день) меньше, чем период обращения спутника Т2 (месяц), то спутник удаляется от планеты, и КПД передачи ему энергии равен:

%d0%ba%d0%bf%d0%b4-%d0%bc%d0%b5%d1%81%d1%8f%d1%86

Если период вращения планеты Т1 (день) больше, чем период обращения спутника Т2 (месяц), то спутник приближается к планете и КПД передачи ей энергии равен:

%d0%ba%d0%bf%d0%b4-%d0%b4%d0%b5%d0%bd%d1%8c

Мы рассмотрели приливные силы, действующие со стороны спутника на планету. А как быть с приливными силами, действующими со стороны планеты на спутник? Какие из этих сил больше? Даже без всяких расчетов ясно, что вторые. Ведь все планеты полностью затормозили вращение своих спутников. То есть все спутники повёрнуты к своим планетам всегда одной и той же стороной, как Луна к Земле. Исключение составляют лишь небольшие спутники, вращающиеся на огромных расстояниях от своих планет. О происхождении этих странных спутников мы поговорим позже.

Василий Янчилин

Добавить комментарий